Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional
A prova é feita por redução ao absurdo. Suponha-se que √2 é racional.
Então pode-se colocá-lo na forma p / q, onde mdc (p,q) = 1, da seguinte forma: p / q = √2.
Elevando ambos os membros ao quadrado, tem-se: ( p / q )2 = 2. Então, p2 = 2q2. Como p2 é par, então p também é par.
Logo pode-se chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, fica-se com: ( 2k )2 = 2q2. Ou seja, 4k2 = 2q2 e então em 2k2 = q2, mostrando que q também é um par.
Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, mdc(p,q)=1. Conclui-se que √2 é irracional.
Curiosidade
O resultado d cálculo de √2 com algumas(250 ! ! !) casas decimais:
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463...