Hipaso (um ilustre membro da Escola) de Metaponto (a mesma cidade onde Pitágoras morreu) demonstrou que nem sempre a razão numérica entre dois segmentos de reta resulta em um número racional. Hipaso demonstrou matematicamente que um número, raiz quadrada de dois ou de cinco - não há certeza -, não podia ser expresso como um número racional. Isto significava que nem todos os elementos podiam ser expressos através de números - inteiros ou racionais - e que existiam outros números além destes. Esta descoberta pôs fim à crença pitagórica de que tudo podia ser expresso ou explicado por números. Com isso, os participantes juraram nunca divulgar a notícia de que suas idéias haviam sido destruídas. Mas Hipaso de Metaponto (ver figura 1) divulgou sua descoberta para pessoas que não pertenciam à seita, motivo que o levou a ser expulso da confraria. Algumas histórias contam que, além de expulso, ele foi morto por afogamento, pois foi jogado, preso, por seus antigos colegas no mar. Mesmo assim, a idéia dos números irracionais não foi destruída (aliás, essa foi outra importante contribuição pitagórica para a humanidade). Conta-se que, após estes acontecimentos, os pitagóricos enlouqueceram ou caíram em profunda depressão e desgosto. O Centro em Crotona foi destruído por um grupo político rival, sendo que muitos dos membros foram assassinados.
Matemático grego nascido em Metaponto, cidade grega do sul da Itália, próxima a foz do rio Bradano, golfo de Tarento, nas costas do Mediterrâneo, a mesma cidade onde Pitágoras morreu, um ilustre membro da escola pitagórica, descobridor dos números incomensuráveis. Contemporâneo de Filolaus, foi um dos responsáveis por mudanças fundamentais na matemática do século V a. C, essencialmente no campo da geometria. Inicialmente um pitagórico, ele demonstrou que nem sempre a razão numérica entre dois segmentos de reta resultava em um número racional ( ~ 400 a.C.). Esta descoberta, uma conseqüência direta da obra mais importante do mestre, o Teorema de Pitágoras. Esta descoberta pôs fim à crença pitagórica de que tudo podia ser expresso ou explicado por números e ameaçava destruir toda a doutrina pitagórica.
Os participantes juraram nunca divulgar a notícia de que suas idéias haviam sido destruídas, mas ele as divulgou sua descoberta para pessoas que não pertenciam à irmandade e, assim, foi expulso da confraria. Por exemplo, o valor da diagonal de um quadrado de lado igual a unidade, negava a doutrina pitagórica de que todos os fenômenos no universo podiam ser reduzidos a números inteiros ou suas razões. Ele demonstrou matematicamente que um número, raiz quadrada de dois ou de cinco, não podia ser expresso como um número racional. Isto significava que nem todos os elementos podiam ser expressos através de números inteiros ou racionais e que existiam outros números além destes e, assim, a teoria das razões incomensuráveis é-lhe atribuída. Essa irreversível descoberta matemática foi devastadora para a filosofia pitagórica, praticamente demoliu a base da sua fé e forçou os pitagóricos a abandonar a sua filosofia básica de que todas as coisas eram números, o que permitiu que os gregos matemáticos desenvolvessem novas teorias. Conta-se lendariamente que, após estes acontecimentos, os pitagóricos enlouqueceram e o assassinaram. O Centro em Crotona foi destruído por um grupo político rival e muitos dos seus membros foram assassinados.
Os participantes juraram nunca divulgar a notícia de que suas idéias haviam sido destruídas, mas ele as divulgou sua descoberta para pessoas que não pertenciam à irmandade e, assim, foi expulso da confraria. Por exemplo, o valor da diagonal de um quadrado de lado igual a unidade, negava a doutrina pitagórica de que todos os fenômenos no universo podiam ser reduzidos a números inteiros ou suas razões. Ele demonstrou matematicamente que um número, raiz quadrada de dois ou de cinco, não podia ser expresso como um número racional. Isto significava que nem todos os elementos podiam ser expressos através de números inteiros ou racionais e que existiam outros números além destes e, assim, a teoria das razões incomensuráveis é-lhe atribuída. Essa irreversível descoberta matemática foi devastadora para a filosofia pitagórica, praticamente demoliu a base da sua fé e forçou os pitagóricos a abandonar a sua filosofia básica de que todas as coisas eram números, o que permitiu que os gregos matemáticos desenvolvessem novas teorias. Conta-se lendariamente que, após estes acontecimentos, os pitagóricos enlouqueceram e o assassinaram. O Centro em Crotona foi destruído por um grupo político rival e muitos dos seus membros foram assassinados.
A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritemética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.
Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritemética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritemético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.